测度论笔记01·单调类方法

单调类方法在证明“某种性质的延拓”中的应用

$\sigma$-代数方法

设$\mathcal{F}$为一个集族，即“集合的集合”，我们要证明$\mathcal{F}$里面的元素都具有某种性质$\mathcal{P}$，如果$\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{A})$，那么我们可以按照以下步骤来证明：

1. 设所有具有性质$\mathcal{P}$的集合的集合为$\mathcal{B}$，下面我们只需证明$\mathcal{F} \subset \mathcal{B}$
2. 证明$\mathcal{B}$是一个$\sigma$-代数
3. 证明$\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$，然后由于$\mathcal{F} =\sigma \left( \mathcal{A} \right) \subset \sigma \left( \mathcal{B} \right) \xlongequal{\mathcal{B} \text{为}\sigma -\text{代数}}\mathcal{B}$，我们就已经证明了$\mathcal{F}$中的元素都具有性质$\mathcal{P}$

单调类定理

$m$类、单调类

假设$X$为全集，$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$为一个集族，$\{A_i\}_{i = 1}^{\infty} \subset \mathcal{A}$为$\mathcal{A}$中的集合列，如果$\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$满足下列二者之一，就称它为（$X$上的）单调类或$\boldsymbol{m}$类

1. $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}\uparrow$，则$\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$
2. $\{A_i\}_{i=1}^{\infty}\downarrow$，则$\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$

代数

假设$X$为全集，$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$为一个集族，如果$\mathcal{A}$满足以下3点，就称它为一个代数

1. $X\in \mathcal{A}$
2. $\forall A \in \mathcal{A}, A^c \in \mathcal{A}$
3. $\forall A_1, A_2 \in \mathcal{A}, A_1\cap A_2 \in \mathcal{A}$

单调类定理

假设$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$为一个集族，那么$\mathcal{A}$为$\sigma$-代数 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{A}$既为代数又为单调类

证明：

“$\Rightarrow$”

直接按定义验证即可

“$\Leftarrow$”

设$\{A_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset \mathcal{A}$为$\mathcal{A}$中的任意集合列，则可设$B_n = \bigcup_{k=1}^n{A_k}$，则$\{B_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset \mathcal{A}$为$\mathcal{A}$中的递增集合列，即$\{B_n\}_{n = 1}^{\infty} \uparrow$，因为$\mathcal{A}$是一个单调类，所以

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_n} \in \mathcal{A}$$

又因为

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_n} = \bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}$$

所以$\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n} \in \mathcal{A}$，又因为$\mathcal{A}$是一个代数，容易验证$\mathcal{A}$满足$\sigma$-代数的前两条定义，因此$\mathcal{A}$是一个$\boldsymbol{\sigma}$-代数

$\square$

$\pi$-$\lambda$定理，Dynkin Class定理

$\pi$-$\lambda$定理也叫Dynkin Class定理

$\lambda$类与Dynkin Class

假设$X$为全集，$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$为一个集族，如果$\mathcal{A}$满足以下三条，就称它为（$X$上的）$\boldsymbol{\lambda}$类，也叫Dynkin Class

1. $X \in \mathcal{A}$
2. $\forall A \subset B$，且$A,B \in \mathcal{A}$，这两点同时满足的集合对$A,B$，有$B - A \in \mathcal{A}$（对“真差”封闭）
3. $\forall \{A_n\}_{i=1}^{\infty} \uparrow$ 为 $\mathcal{A}$ 中的递增集合列，即 $A_n \subset A_{n+1}$ （$\forall n \in \mathbb{N}$），且$A_n \in \mathcal{A}$ （$\forall n \in \mathbb{N}$）两点同时满足，则有：$\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$

记忆方法：“lambda $\approx$ lim $+$ diff”，其中“lim”对应第三个条件，“diff”对应第二个条件

任何一族（不论可不可数）$\boldsymbol{\lambda}$类的并也是$\boldsymbol{\lambda}$类，于是设$\mathcal{C}\subset\mathcal{P}(X)$为任意一个集族（注意$\boldsymbol{\mathcal{C}}$不一定是$\boldsymbol{\lambda}$类）我们称

$$\lambda \left( \mathcal{C} \right) \xlongequal{\triangle} d\left( \mathcal{C} \right) \xlongequal{\triangle}\bigcap_{\mathcal{C} \subset \mathcal{B} ,\mathcal{B} \text{为}X \text{上的}\lambda \text{类}}{\mathcal{B}}$$

为从$\boldsymbol{\mathcal{C}}$生成的$\boldsymbol{\lambda}$类，也叫从$\boldsymbol{\mathcal{C}}$生成的Dynkin Class

$\pi$类

假设$X$为全集，$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$为一个集族，如果$\forall A,B \in \mathcal{A}$，都有$A \cap B \in \mathcal{A}$，则称$\mathcal{A}$为一个（$X$上的）$\boldsymbol{\pi}$类，注意$\pi$类在有限交运算下是封闭的，而在可数交甚至任意交运算下不一定封闭

记忆方法：“$\pi = \Pi$” 表示连乘，在概率论中事件$A\cap B$也记作事件$AB$，由此可知$\pi$类关于有限交运算封闭

$\pi$-$\lambda$定理（Dynkin定理）

设$X$为全集，$\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$为一个$X$上的$\pi$类，那么

$$\sigma(\mathcal{A})=\lambda(\mathcal{A})=d(\mathcal{A})$$

进一步，假设$\mathcal{A}$本身就是一个（$X$上的）$\lambda$类，那么$\lambda(\mathcal{A})=d(\mathcal{A})=\mathcal{A}\xlongequal{Dynkin\text{定理}} \sigma(\mathcal{A})$，也即$\mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A})$为一个$\sigma$-代数，也即

$$\mathcal{A}\text{为}\sigma\text{-代数} \Leftrightarrow\mathcal{A}\text{既为}\lambda \text{类又为}\pi\text{类}$$

证明：

首先注意到$\sigma(\mathcal{A})$一定是一个$\lambda$类，由$\lambda(\mathcal{A})$的定义，我们知道$\lambda(\mathcal{A}) \subset \sigma(\mathcal{A})$，下面我们将着力于证明$\sigma(\mathcal{A}) \subset \lambda(\mathcal{A})$，注意到$\mathcal{A} \subset \lambda(\mathcal{A})$，因此我们只需证明$\lambda(\mathcal{A})$是一个$\sigma$-代数（通过直接验证$\lambda(\mathcal{A})$满足$\sigma$-代数定义中它需要满足的3个条件来证明）

构造辅助集合

$$\lambda_1(\mathcal{A}) \xlongequal{\triangle} \{A\in \lambda(\mathcal{A}):\forall C \in \mathcal{A}, A\cap C \in \lambda(\mathcal{A})\}$$

我们来证明$\boldsymbol{\lambda_1(\mathcal{A})}$是一个$\boldsymbol{\lambda}$类

注意到$\forall A\in \mathcal{A}\subset \lambda(\mathcal{A})$，由于$\mathcal{A}$是一个$\pi$类，所以$A\in\lambda_1(\mathcal{A})$，即$\mathcal{A}\subset \lambda_1(\mathcal{A})$，因此$X\in \lambda_1(\mathcal{A})$

再注意到$\forall B \subset A, A, B \in \lambda_1(\mathcal{A}), \forall C \in \mathcal{A}$，有

$$(A-B)\cap C = (A\cap C) - (B\cap C)$$

而由$A, B \in \lambda_1(\mathcal{A})$，我们有$A\cap C, B\cap C \in \lambda(\mathcal{A})$，又由于$\lambda(\mathcal{A})$是一个$\lambda$类，所以

$$(A-B)\cap C = (A\cap C) - (B\cap C) \in \lambda(\mathcal{A}), A - B \in \lambda(\mathcal{A})$$

所以有$A - B \in \lambda_1(\mathcal{A})$，至此我们证明了$\lambda(\mathcal{A})$在真差下封闭，下证它在渐升并下封闭

注意到$\forall \{A_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset \lambda_1(\mathcal{A}), C \in \mathcal{A}$使得$\{A_n\}_{n = 1}^{\infty} \uparrow$，有

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left( A_n\cap C \right)}=\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n} \right) \cap C$$

由于$A_n \in \lambda_1(\mathcal{A})$，所以$A_n \cap C \in \lambda(\mathcal{A}) (\forall n)$，又由于$\lambda(\mathcal{A})$是$\lambda$类，所以$\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left( A_n\cap C \right)} \in \lambda(\mathcal{A})$，我们得到了

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in \lambda_1(\mathcal{A})$$

至此，我们已经证明了$\lambda_1(\mathcal{A})$是一个$\boldsymbol{\lambda}$类，由$\lambda(\mathcal{A})$的定义，我们有$\lambda(\mathcal{A}) \subset \lambda_1(\mathcal{A})$

再构造辅助集合

$$\lambda_2(\mathcal{A}) \xlongequal{\triangle} \{B \in \lambda(\mathcal{A}) : \forall A \in \lambda(\mathcal{A}), A\cap B \in \lambda(\mathcal{A})\}$$

下面我们来证明$\boldsymbol{\lambda_2(\mathcal{A})}$是一个$\boldsymbol{\lambda}$类

注意到$\forall\{B_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset \lambda_2(\mathcal{A}), A \in \lambda(\mathcal{A})$使得$\{B_n\}_{n = 1}^{\infty} \uparrow$，有

$$\bigcup_{n = 1}^{\infty} B_n \in \lambda(\mathcal{A})$$

以及

$$\bigcup_{n = 1}^{\infty} (B_n \cap A) = \left(\bigcup_{n = 1}^{\infty} {B_n} \right) \cap A$$

其中第一个式子是因为$\lambda(\mathcal{A})$是一个$\lambda$类，又因为$B_n \in \lambda_2(\mathcal{A})$，所以$B_n \cap A \in \lambda(\mathcal{A}) (\forall n)$，又由于$\lambda(\mathcal{A})$是$\lambda$类，所以$\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left( B_n\cap A \right)} \in \lambda(\mathcal{A})$我们得到了

$$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \in \lambda_2(\mathcal{A})$$

至此，我们证明了$\lambda_2(\mathcal{A})$在渐升并下封闭，下证它对真差封闭

再注意到$\forall C\subset B, B, C\in \lambda_2(\mathcal{A}), \forall A \in \lambda(\mathcal{A})$，有

$$(B - C)\cap A = (B \cap A) - (C \cap A)$$

而由$B, C \in \lambda_2(\mathcal{A})$，我们有$B\cap A, C\cap A \in \lambda(\mathcal{A})$，又由于$\lambda(\mathcal{A})$是一个$\lambda$类，所以

$$(B - C)\cap A = (B \cap A) - (C \cap A) \in \lambda(\mathcal{A}), B - C \in \lambda(\mathcal{A})$$

所以有$B - C \in \lambda_2(\mathcal{A})$，至此，我们已经证明了$\lambda_2(\mathcal{A})$是一个$\boldsymbol{\lambda}$类，且$\mathcal{A} \subset \lambda_2(\mathcal{A})$，所以

$$\lambda(\mathcal{A}) \subset \lambda(\lambda_2(\mathcal{A})) \xlongequal{\lambda_2(\mathcal{A}) \text{是}\lambda \text{类}} \lambda_2(\mathcal{A})$$

至此我们证明了

1. $X\in \lambda(\mathcal{A})$
2. $\forall A, B \in \lambda(\mathcal{A}) s.t. B\subset A, A - B \in \lambda(\mathcal{A})$
3. $\forall A, B \in \lambda(\mathcal{A}), A\cap B \in \lambda(\mathcal{A})$

注意在第二条中取$A = X$，我们就得到了$\forall A \in \lambda(\mathcal{A}), A^c \in \lambda(\mathcal{A})$，因此$\lambda(\mathcal{A})$构成了一个代数，又由于$\lambda(\mathcal{A})$是一个$\boldsymbol{\lambda}$类，因此$\lambda(\mathcal{A})$是一个单调类，由之前的单调类定理（即$\sigma$-代数$=$代数$+$单调类），我们得到$\lambda(\mathcal{A})$是一个$\boldsymbol{\sigma}$-代数

又由于$\mathcal{A} \subset \sigma(\mathcal{A})$，所以$\lambda(\mathcal{A}) \subset \lambda(\sigma(\mathcal{A})) \xlongequal{\sigma(\mathcal{A}) \text{为} \lambda \text{类}} \sigma(\mathcal{A})$，由$\sigma(\mathcal{A})$的构造知$\lambda(\mathcal{A}) = \sigma(\mathcal{A})$

$\square$